Interpolation de Lagrange

Énoncé

Soit \(x_1 , x_2\) et \(x_3\) trois nombres complexes distincts.

Soit \(y_1 , y_2\) et \(y_3\) trois nombres complexes.

On note \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par : \(P(z) = y_1 \frac{(z-x_2)(z-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+ y_2 \frac{(z-x_1)(z-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}+ y_3 \frac{(z-x_1)(z-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}\) .

1. Calculer \(P(x_1) , P(x_2)\) et \(P(x_3)\) .

2. On note \(Q\) un polynôme de degré au plus \(2\) tel que \(Q(x_1)=y_1\) , \(Q(x_2)=y_2\) et \(Q(x_3)=y_3\) .  On note \(R\) le polynôme défini sur \(\mathbb{C}\) par \(R(z) = P(z)-Q(z)\) .  Déterminer des racines de \(R\) .

3. Quel degré a au plus le polynôme \(P\)  ? 
On considère le plan muni d'un repère \((\text O,\vec{u}, \vec{v})\) .  Dans le cas où \(x_1 , x_2 , x_3\) et \(y_1 , y_2 , y_3\) sont des réels, on considère les points \(\text A(x_1,y_1) , \text B(x_2,y_2)\) et \(\text C(x_3,y_3)\) .  Montrer que le polynôme \(P\) est un polynôme de degré \(2\) si et seulement si les points \(\text A ,\text B\) et \(\text C\) ne sont pas alignés.

4. En déduire (dans le cas où \(x_1 , x_2 , x_3\) et \(y_1 , y_2 , y_3\) sont des complexes) le degré qu'a au plus le polynôme \(R\) .  Que peut-on en déduire pour \(R\) ? Et pour \(Q\) ?